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SÉRIES

formules dans lesquelles $M$ est le module des tables ; et qui sont très-convergentes, principalement la dernière, toutes les fois que l’angle $z$ est moindre qu’un demi-droit.

II. Si, dans la formule (1), on change successivement $z$ en ${\tfrac {1}{2}}z,{\tfrac {1}{4}}z,{\tfrac {1}{8}}z,\ldots ,$ on trouvera

${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .z=\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right),\\&\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}z=\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right),\\&\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}z=\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

En multipliant ces diverses équations membre a membre, on obtiendra, par la suppression des facteurs communs,

$\operatorname {Cos} .z=\operatorname {Cos} .^{3}{\tfrac {1}{2}}z\operatorname {Cos} .^{3}{\tfrac {1}{4}}z\operatorname {Cos} .^{3}{\tfrac {1}{8}}z\ldots$

$\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right)\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right)\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right)\ldots$

d’où

$\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{8}}z\ldots =$

${\frac {\operatorname {Cos} .^{\tfrac {1}{3}}z}{\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\ldots }}$

substituant cette valeur dans la formule connue

$\operatorname {Sin} .z=z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{8}}z\ldots \,;$

on aura

$\operatorname {Sin} .z={\frac {z\operatorname {Cos} .^{\tfrac {1}{3}}z}{\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\ldots }}$

série tout aussi régulière et beaucoup plus convergente.

III. Prenons encore les formules connues