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INTÉGRATION

$1=A\left\{1-a+a^{2}.{\frac {15\left(4-z^{2}\right)}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}-a^{3}.{\frac {5\left(4-z^{2}\right)}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}\right.$

$\left.+a^{4}.{\frac {5}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}-a^{5}.{\frac {1}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}\right\}\,;$

faisant enfin $z=0,$ tirant la valeur de $A,$ et changeant $a$ en $x,$ nous aurons, pour troisième approximation,

$e^{x}={\frac {1}{1-{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{5}}{5!}}}}.$

Il n’en faut pas davantage pour être conduit à soupçonner que l’on doit avoir généralement et rigoureusement

$e^{x}={\frac {1}{1-{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots }}\,;$

et en effet, cette formule est exacte ; car, en y changeant $x$ en $-x,$ elle devient

$e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots \,;$

formule connue.

PROBLÈME III. Trouver le sinus et le cosinus d’un arc donné quelconque ?

Solution. Soit $x$ l’arc donné et $y$ son sinus ; on aura l’équation

$y=\operatorname {Sin} .x\,;$

d’où, en différentiant,