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DE NEWTON.

y-b=M(x-a),

on aura

r={\frac {(b-Ma)\operatorname {Sin} .\gamma }{\sqrt {1+2M\operatorname {Cos} .\gamma +M^{2}}}}\,;

ou

(b-Ma)^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma =r^{2}\left(1+2M\operatorname {Cos} .\gamma +M^{2}\right)\,;

il ne s’agira donc plus, pour avoir l’équation en $r,$ que d’éliminer $M$ entre cette équation et l’équation précédemment obtenue

c^{2}M^{2}=(b-Ma)^{2}\left(1+2M\operatorname {Cos} .\gamma +M^{2}\right).

En prenant successivement les racines quarrées de leur produit et du quotient de leur division, on parvient aux équations plus simples

cM\operatorname {Sin} .\gamma =r\left(1+2M\operatorname {Cos} .\gamma +M^{2}\right),

(b-aM)^{2}\operatorname {Sin} .\gamma =crM\,;

entre lesquelles l’élimination de $M$ conduirait, en général, à une équation en $r$ du quatrième degré.

Mais lorsque, comme nous le supposons ici, $b=a$ la dernière équation devient simplement

a^{2}(1-M)^{2}\operatorname {Sin} .\gamma =crM\,;

d’où

1-2M+M^{2}={\frac {crM}{a^{2}\operatorname {Sin} .\gamma }}\,;

ou

1+M^{2}={\frac {cr+2a^{2}\operatorname {Sin} .\gamma }{a^{2}\operatorname {Sin} .\gamma }}M\,;

d’où

1+2M\operatorname {Cos} .\gamma +M^{2}={\frac {cr+2a^{2}(\operatorname {Sin} .\gamma +\operatorname {Cos} .\gamma )}{a^{2}\operatorname {Sin} .\gamma }}M\,;