![{\displaystyle \left.-\left(2a^{2}+c^{2}\right)\right]M^{2}-2a^{2}(1-\operatorname {Cos} .\gamma )M+a^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc6430d54a0bc6ba1e6899de2c088a60da49933)
équation réciproque qui conséquemment ne présente que la difficulté du second degré.
Rien n’est plus aisé que de se rendre compte de cette circonstance, et elle pouvait même être facilement prévue à l’avance. est, en général, le rapport des sinus des angles que fait la droite cherchée avec les axes des et des or, dans le cas particulier dont il s’agit ici, tout doit être symétrique par rapport à une droite indéfinie passant par l’origine et par le point donné ; d’où il suit que, si l’on plie la figure suivant cette droite, deux des droites qui résolvent le problème viendront se confondre avec les deux autres, tandis que les axes des et des coïncideront. Les angles formés par l’une de ces droites avec les axes des et des sont donc respectivement égaux avec ceux que forme sa correspondante avec les axes des et des d’où il suit qu’en changeant en l’équation ne doit pas changer, et qu’ainsi elle doit être réciproque.
Les mêmes considérations prouvent que, dans ce cas, la plus courte ligne qu’on puisse mener par le point dans l’angle qui le contient est la perpendiculaire à celle qui joint ce point à l’origine ; car en pliant la figure comme il vient d’être dit, cette perpendiculaire se confondra avec elle-même. On voit par là que, dans le même cas, le problème aura quatre, trois ou deux solutions, suivant que la longueur donnée sera plus grande que cette perpendiculaire, égale à cette perpendiculaire ou moindre qu’elle.
Notre équation réciproque en peut être écrite ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle a^{2}M^{4}-4a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma .M^{3}+\left[8a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma -\left(2a^{2}+c^{2}\right)\right]M^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2307050b518d8c33baf75adaad46f271de102d)
