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DE NEWTON.

que trois solutions, ou, ce qui revient au même, que cette équation eût deux racines égales, le problème pourrait fort bien se résoudre alors géométriquement. En effet, la dérivée de cette équation qui est

$2a^{2}M^{3}-3a(b-a\operatorname {Cos} .\gamma )M^{2}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-4ab\operatorname {Cos} .\gamma \right)M-b(a-b\operatorname {Cos} .\gamma )=0$

devrait avoir lieu en même temps qu’elle. Éliminant donc $M$ entre l’une et l’autre, l’équation résultante en $a,b,c,\operatorname {Cos} .\gamma$ exprimerait la relation, entre les données, qui convient à ce cas. De plus, on obtiendrait, chemin faisant, une équation en $M$ du premier degré, ou tout au plus du second, dont la résolution conduirait à celle du problème proposé.

Si l’on suppose que les droites données sont perpendiculaires entre elles, on aura $\operatorname {Cos} .\gamma =0\,;$ et l’équation (1) deviendra

$a^{2}M^{4}-2abM^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)M^{2}-2abM+b^{2}=0\,;$

les équations (2) deviendront, dans le même cas,

${\begin{aligned}&(x-a)^{4}+2a(x-a)^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)(x-a)^{2}+2ab^{2}(x-a)+a^{2}b^{2}=0,\\\\&\ (y-b)^{4}+\ 2b(y-b)^{3}\ +\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)(y-b)^{2}+2a^{2}b(y-b)\ +a^{2}b^{2}=0\,;\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}&x^{4}-2ax^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)x^{2}+2ac^{2}x-a^{2}c^{2}=0,\\\\&\ y^{4}-\ 2by^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)y^{2}+2bc^{2}y\ -b^{2}c^{2}=0\,;\end{aligned}}$

et il n’en résultera aucune simplification notable dans la solution du problème.

Il n’en sera pas de même, si l’on suppose que le point donné est situé sur la droite qui divise en deux parties égales l’angle dans lequel il se trouve situé ; on aura alors, en effet, $b=a,$ et l’équation (1) deviendra