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DE L’ANGLE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$h=g.{\frac {\operatorname {Tang} .^{3}a}{\operatorname {Tang} .3a}}.$

Cette expression devenant également nulle, soit que 3$a$ soit nul, soit qu’il soit égal à l’angle droit ; elle doit être susceptible d’un maximum entre ces deux limites. Si, dans la vue de le déterminer, on égale à zéro la différentielle de ${\frac {\operatorname {Tang} .^{3}a}{\operatorname {Tang} .3a}},$ il viendra, en supprimant le dénominateur et divisant par $\operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Cos} .^{2}a,$

$(\operatorname {Cos} .3a\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Sin} .3a\operatorname {Sin} .a)(\operatorname {Sin} .3a\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .3a\operatorname {Sin} .a)=0\,;$

ou bien

$\operatorname {Sin} a2a.\operatorname {Cos} .4a=0,$

ou simplement

$\operatorname {Cos} .4a=0,$

puisque $\operatorname {Sin} .2a=0$ répondrait au minimum. On aura donc, dans le cas du maximum,

$4a={\frac {1}{2}}\varpi ,\quad$d’où$\quad \operatorname {Cos} .2a=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{4}}\varpi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,;$

de là

$\operatorname {Tang} .a={\sqrt {\frac {1-\operatorname {Cos} .2a}{1+\operatorname {Cos} .2a}}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}={\sqrt {2}}-1\,;$

d’où

$\operatorname {Tang} .^{3}a=5{\sqrt {2}}-7\,;$

on aura d’ailleurs, dans ce cas,

$\operatorname {Tang} .3a\operatorname {Cot} .a={\frac {1}{\operatorname {Tang} .a}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1\,;$