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DU TROISIÈME DEGRÉ.

de l’unité, on pourra poursuivre en remplaçant l’extraction de la racine de la quantité sous le radical par la réduction à moitié de sa différence avec l’unité.

Il résulte de là que dans la série $a-1,a_{1}-1,a_{2}-1,\ldots a_{n}-1,$ chaque terme, que nous venons déjà de démontrer être moindre que le tiers de celui qui le précède immédiatement, tend sans cesse à n’en être plus que le quart. Soit, en effet, $a_{n-1}=1+i,\ i$ étant une très-petite fraction, nous aurons

$a_{n}={\sqrt {\frac {1+a_{n-1}}{2}}}={\sqrt {\frac {2+i}{2}}}={\sqrt {1+{\frac {1}{2}}i}}\,;$

ce qui donnera sensiblement $a_{n}=1+{\frac {1}{4}}i,$ on aura donc, aussi sensiblement,

${\frac {a_{n}-1}{a_{n-1}-1}}={\frac {{\frac {1}{4}}i}{i}}={\frac {1}{4}}\,;$

ainsi, parvenue à ce point, la série $a-1,a_{1}-1,a_{2}-1,\ldots a_{n}-1,$ sera facile à continuer, et on en conclura ensuite les termes correspondans à la série $a,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{n}.$

On peut remarquer présentement que, si l’on avait rigoureusement

$4x_{n}^{3}-3x_{n}=1,$

on en conclurait, en transposant et décomposant,

$\left(2x_{n}+1\right)^{2}\left(2x_{n}-1\right)=0\,;$

d’où l’on voit que, tandis que l’une des racines des diverses transformées converge sans cesse vers l’unité les deux autres convergent en même temps vers la fraction $-{\frac {1}{2}}.$ On pourra donc, passé un certain terme, tirer un parti avantageux de la méthode d’approximation de Newton, pour résoudre la dernière transformée, et re-