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INTÉGRATION

$B=Az,\qquad C={\frac {3z^{2}}{6-z^{2}}}A,\qquad D={\frac {z^{3}}{6-z^{2}}}A\,;$

mais, par la condition qui détermine la constante, on a

$1=A-B{\frac {a}{z}}+C{\frac {a^{2}}{z^{2}}}-D{\frac {a^{3}}{z^{3}}},$

en substituant donc, il viendra

$1-A\left\{1-a+{\frac {3a^{2}}{6-z^{2}}}-{\frac {a^{3}}{6-z^{2}}}\right\}\,;$

faisant enfin $z=0,$ et changeant $a$ en $x,$ il viendra, pour seconde approximation

$e^{x}={\frac {1}{1-{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}}}.$

Posons encore

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5}\,;\qquad$(5″)

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4},\qquad$(6″)

substituant ces valeurs dans l’équation (1), elle deviendra

$z\left(A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5}\right)$

$-\left(B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}\right)=0\,;$

ou en ordonnant et posant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}Az-\ \ B=&A',\qquad &Dz-4E=&D',\\Bz-2C=&B',&Ez+5F=&E',\\Cz-3D=&C',&Fz=&F'\,;\end{alignedat}}$