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QUESTIONS

Tous les termes du second membre de cette équation sont, comme l’on sait des nombres entiers. De plus, ils sont tous divisibles par $p,$ qui ne saurait se trouver au dénominateur d’aucun d’eux, donc 1.^o lorsque $p$ est premier

${\frac {2^{p}-2}{p}}$

est un nombre entier.

Supposons présentement que le nombre premier $p$ soit un nombre impair de la forme $2n+1,$ en substituant dans la formule elle deviendra

${\frac {2\left(2^{2n}-1\right)}{2n+1}}={\frac {2.\left(2^{n}-1\right)\left(2^{n}+1\right)}{2n+1}}\,;$

or, $2$ ne pouvant être divisible par le nombre premier impair $2n+1,$ il faut que ce soit le produit $\left(2^{n}-1\right)\left(2^{n}+1\right)$ et par suite l’un ou l’autre de ses facteurs $\left(2^{n}-1\right),\ \left(2^{n}+1\right)$ qui soit divisible par ce diviseur.

N’aurons-nous donc rien de plus simple que le théorème de Wilson, pour juger, à priori, si un nombre donné est ou n’est pas premier ? Il nous paraît du moins que son procédé est susceptible d’abréviations notables. D’abord comme tout nombre composé a toujours au moins un diviseur premier moindre que la racine du quarré le plus approchant en plus ; on voit que $N$ étant un nombre donné, et $g,h$ deux nombres premiers consécutifs, tels que $g^{2}<N$ et $h^{2}>N\,;$ si l’on fait le produit $P=1.2.3.5.7.11\ldots g$ des nombres premiers, jusqu’à $g$ inclusivement ; suivant que $P$ et $N$ auront ou n’auront pas un commun diviseur, $N$ sera composé au premier : on peut même, dans ce produit, supprimer les facteurs $2.3.5,$ attendu que ces facteurs se reconnaissent dans un nombre à la première inspection.