Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/191

185

FONCTIONNEL.

si l’on développe le second membre de cette équation, tous les termes de son développement excepté le dernier $1$ seront divisibles par $341\,;$ de sorte qu’on peut écrire

$2^{170}=341k+1,$

$k$ désignant un nombre entier ; or, de là résulte

$2^{170}-1=341k\,;$

ainsi, $2^{170}-1$ est divisible par $341,$ bien que ce nombre ne soit pas premier.

Il est donc certain que l’une des deux formules $2^{n}-1$ et $2^{n}+1$ peut être divisible par le nombre impair $2n+1,$ sans que ce nombre soit premier ; mais il n’en demeure pas moins certain que, lorsque ce nombre est premier, il divise nécessairement l’une ou l’autre de ces deux formules ; ce qu’on peut prouver assez simplement comme il suit.

Soit $p$ un nombre premier quelconque, on aura

$2^{p}=(1+1)^{p}=1+{\frac {p}{1}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}+\ldots +{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}+{\frac {p}{1}}+1\,;$

d’où

$2^{p}-2={\frac {p}{1}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}+\ldots$

$+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}+{\frac {p}{1}}.$