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INTÉGRATION

la constante devant ici être déterminée par la considération qu’à $y=1$ doit répondre $a+zx=0$ ou $x=-{\frac {a}{z}}.$

Posons d’abord simplement

$y=A+Bx,\qquad$(5)

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B\qquad$(6)

en substituant dans l’équation (1), elle deviendra.

$z(A+Bx)-B=0,$

ou

$(Az-B)+Bzx=0\,;\qquad$(7)

nous aurons ici à faire la seule supposition $x=0,$ qui nous donnera

$Az=B\,;$

la condition qui doit déterminer la constante donnera, en outre,

$1=A-B{\frac {a}{z}}\,;$

éliminant $B$ entre ces deux équations, $z$ disparaîtra de lui-même ; et, en changeant ensuite $a$ en $x,$ nous aurons, pour première approximation,

$e^{x}={\frac {1}{1-x}}.$

Posons, en second lieu,

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3},\qquad$(5′)

d’où