Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/174

168

ALGORITHME

$c=\operatorname {f} (A,B,C),\qquad C=\operatorname {f} (a,b,c),$

ne soient des équations tout-à-fait absurdes ; du moins tant qu’il n’y aura rien de sous-entendu sous le signe de fonction.

Mais si, pour qu’une équation entre grandeurs concrètes ne soit point absurde, il faut qu’elle renferme, tout au moins, deux grandeurs concrètes de chaque sorte : cette condition, toujours rigoureusement nécessaire, n’est pas néanmoins suffisante. Pour que celle d’entre ces grandeurs concrètes par rapport à laquelle on veut résoudre l’équation se trouve être égale à une autre grandeur concrète de même espèce qu’elle multipliée par un nombre abstrait, il est de plus nécessaire que cette équation soit séparément homogène par rapport à chacune des sortes de grandeurs concrètes dont elle se compose ; car, soit par exemple l’équation

$2^{\text{mètres}}\times 4^{\text{heures}}\times 12^{\text{mètres}}=2^{\text{heures}}\times 4^{\text{mètres}}\times 12^{\text{heures}},$

qu’un esprit peu attentif serait d’abord tenté de croire identique ; on peut l’écrire ainsi

$12^{\text{mètres}}=2^{\text{heures}}\times {\frac {12^{\text{heures}}}{4^{\text{heures}}}}\times {\frac {4^{\text{mètres}}}{2^{\text{mètres}}}}=2^{\text{heures}}\times 3\times 2=12^{\text{heures}}\,;$

équation dont l’absurdité est manifeste, puisqu’elle exprime finalement que $12$ mètres sont égaux à $12$ heures.

En vain prétendrait-on objecter qu’on peut toujours, dans une équation, diviser chaque sorte de grandeur abstraite par son unité de mesure, et réduire ainsi l’équation à n’avoir simplement lieu qu’entre des nombres abstraits, et qu’ainsi si cette dernière est vraie, celle d’où on l’aura déduite ne pourra être réputée absurde.

Observons, en effet, que, lorsqu’un dit que l’unité ne multiplie ni ne divise, cette proposition ne peut et ne doit s’entendre que de l’unité abstraite ; l’unité concrète est, en effet, tout-à--