Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/173

167

FONCTIONNEL.

Comme vous l’avez fort bien observé vous-même, Monsieur, (Annales, tom. VIII, pag. 366 et suiv.) on ne peut être conduit à une grandeur concrète pour résultat d’ un calcul, qu’autant que ce calcul peut être réduit à la multiplication d’une autre grandeur concrète de même nature que celle-là par un nombre abstrait ; de telle sorte que $X$ et $A$ représentant des grandeurs concrètes homogènes, et $n$ un nombre absolument abstrait quelconque, la valeur de $X$ doit être réductible à la forme

$X=nA\,;$

$n$ pouvant d’ailleurs être une fonction de tant de grandeurs concrètes qu’on voudra, soit de même nature que $A$ et $X,$ soit d’une nature totalement différente^[1].

La première conséquence qui résulte de là, c’est qu’un raisonnement exact ne saurait conduire à une équation dans laquelle une grandeur concrète se trouverait seule de son espèce, et que conséquemment une équation de cette forme est une équation tout-à-fait absurde. On voit, en effet, qu’en résolvant une semblable équation par rapport à la grandeur concrète dont il s’agit, il serait impossible d’en trouver la valeur égale à une autre grandeur concrète de même espère qu’elle, multipliée par un nombre abstrait. Ainsi $a,b,c$ désignant les trois côtés d’un triangle, et $A,B,C$ les angles respectivement opposés, nul doute que des équations de la forme

$\phi (A,B,C,c)=0,\qquad \phi (a,b,c,C)=0,$

et, par suite, des équations de la forme

1. Je ne dis rien du cas où $X$ serait égal à $A$ divisée par un nombre abstrait, parce que ce cas rentre dans celui ou $n$ ferait lui-même un nombre abstrait fractionnaire.