somme des trois angles vaut deux angles droits ; et la théorie des parallèles ne présente plus dès-lors aucune difficulté.
Voici présentement les principales objections que M. le professeur Leslie et ses correspondans opposent à ce raisonnement ; je tâcherai également de les présenter dans toute leur force.
I. Suivant M. Leslie, il n’est pas généralement vrai qu’une grandeur ne puisse résulter de la combinaison d’autres grandeurs tout à fait hétérogènes avec celles-là ; et la mécanique, en particulier, offre plus d’un exemple de ces sortes de résultats. La raison en est que le calcul ne considère pas proprement les grandeurs concrètes, mais seulement les rapports de ces grandeurs avec leurs unités respectives, c’est-à-dire, des nombres purement abstraits ; d’où M. Leslie se croit fondé à conclure que le raisonnement par lequel M. Legendre prétend prouver que le côté ne saurait entrer dans son équation tombe de lui-même.
II. Tout en convenant que les angles et les longueurs sont des grandeurs absolument hétérogènes, M. Leslie pense qu’il n’existe entre elles d’autre différence que celle qui existe en général entre deux grandeurs hétérogènes quelconques, les longueurs et les temps, par exemple. En vain, suivant lui, voudrait-on se prévaloir de ce que les angles trouvent dans l’angle droit une mesure naturelle. L’angle droit, ajoute-t-il n’est pas plus la mesure naturelle des angles que le quart du méridien terrestre n’est la mesure naturelle des longueurs, ou la rotation diurne de la terre la mesure naturelle des temps ; de manière que toute distinction qu’on voudrait établir en faveur des angles serait tout-à-fait illusoire.
III. Dans la vue de montrer tout le faible de la démonstration de M. Legendre, M. Leslie en présente une sorte de parodie qui conduit à une conclusion évidemment absurde.
Soient, dit-il, les trois côtés d’un triangle effectif, et soient les angles qui leur sont respectivement opposés. On prouve rigoureusement, par la superposition, que, connaissant uniquement l’angle et les deux côtés qui le comprennent,
