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INTÉGRATION

${\begin{aligned}B=&+{\frac {z}{a}}\\C=&-{\frac {z^{2}\left(a^{2}-5z^{2}\right)}{2\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}},\\D=&+{\frac {z^{3}\left(a^{2}-5z^{2}\right)}{3a\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}},\\E=&-{\frac {z^{4}}{4\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}},\\F=&+{\frac {z^{5}}{5a\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}\,;\end{aligned}}$

mais, par la condition qui détermine la constante, on a

$A={\frac {a-1}{z}}B-{\frac {(a-1)^{2}}{z^{2}}}C+{\frac {(a-1)^{3}}{z^{3}}}D-{\frac {(a-1)^{4}}{z^{4}}}E+{\frac {(a-1)^{5}}{z^{5}}}F\,;$

substituant donc, il viendra

${\begin{aligned}A=&{\frac {a-1}{a}}+{\frac {(a-1)^{2}\left(a^{2}-5z^{2}\right)}{2\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}+{\frac {(a-1)^{3}\left(a^{2}-5z^{2}\right)}{3a\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}\\&+{\frac {(a-1)^{4}}{4\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}+{\frac {(a-1)^{5}}{5a\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}\,;\end{aligned}}$

faisant enfin $z=0,$ et changeant ensuite $a$ en $x,$ nous aurons

$\operatorname {Log} .x={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+{\frac {(x-1)^{5}}{5x^{5}}}\,;$

formule plus approchée encore que les précédentes ; mais toujours pour des valeurs de $x$ peu différentes de l’unité.

Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin pour être conduit à soupçonner que, si on admettait une infinité de termes dans la valeur