Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/154

148

CAS DIVERS

$\operatorname {Sin} .^{2}\varpi =\operatorname {Sin} .^{2}x\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}H\right)\,;$

mais, par les formules connues,

$\operatorname {Cos} .H={\frac {\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .x}{\operatorname {Sin} .\gamma \operatorname {Sin} .x}},$

d’où

${\begin{aligned}1-\operatorname {Cos} .^{2}H&={\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \operatorname {Sin} .^{2}x-\left(\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .x\right)^{2}}{\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \operatorname {Sin} .^{2}x}}\\\\&={\frac {\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \right)\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}x\right)-\left(\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .x\right)^{2}}{\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \operatorname {Sin} .^{2}x}}\\\\&={\frac {1-\operatorname {Cos} .^{2}\gamma -\operatorname {Cos} .^{2}x-\operatorname {Cos} .^{2}y+2\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \operatorname {Sin} .^{2}x}}\,;\end{aligned}}$

substituant cette valeur dans celle de $\operatorname {Sin} .^{2}\rho ,$ elle deviendra

$\operatorname {Sin} .^{2}\rho =1-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}x-2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .\gamma +\operatorname {Cos} .^{2}y}{\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }}\,;$

d’où encore

$\operatorname {Cos} .^{2}\rho ={\frac {\operatorname {Cos} .^{2}x-2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .\gamma +\operatorname {Cos} .^{2}y}{\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }}\,;$

valeur que l’on peut encore écrire sous cette forme

$\operatorname {Cos} .^{2}\rho ={\frac {(R\operatorname {Cos} .x)^{2}-2(R\operatorname {Cos} .x)(R\operatorname {Cos} .y)\operatorname {Cos} .\gamma +(R\operatorname {Cos} .y)^{2}}{R^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }}.$

En substituant dans cette expression pour $R\operatorname {Cos} .x$ et $R\operatorname {Cos} .y$ leur