Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/148

142

CAS DIVERS

tout se réduira à déterminer l’intensité ei la direction de la résultante $R$ de trois forces $X,Y,Z,$ dirigées suivant les rayons qui passent par les milieux des côtés $a,b,c,$ du triangle, et ayant respectivement pour expressions

$X={\sqrt {2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}a,\quad Y={\sqrt {2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}b,\quad Z={\sqrt {2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}c.\qquad$(1)

Désignons respectivement par $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ les arcs de grands cercles qui joignent les milieux consécutifs des côtés du triangle, $\alpha$ étant opposé à $a,\ \beta$ à $b,$ et $\gamma$ à $c\,;$ soient de plus $x,y,z$ les arcs de grands cercles menés des mêmes milieux au point inconnu où la sphère est percée par la résultante, $x$ partant du milieu de $a,\ y$ du milieu de $b$ et $z$ du milieu de $c\,;$ nous aurons, par les théories connues^[1],

$R^{2}=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+2YZ\operatorname {Cos} .\alpha +2ZX\operatorname {Cos} .\beta +2XY\operatorname {Cos} .\gamma .\quad$(2)

$\left.{\begin{aligned}&R\operatorname {Cos} .x=X+Y\operatorname {Cos} .\gamma +Z\operatorname {Cos} .\beta ,\\&R\operatorname {Cos} .y=Y+Z\operatorname {Cos} .\alpha +X\operatorname {Cos} .\gamma ,\\&R\operatorname {Cos} .z=Z+X\operatorname {Cos} .\beta +Y\operatorname {Cos} .\alpha .\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(3)

Cela posé, considérons le triangle dont les trois côtés sont $\gamma ,{\tfrac {1}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}b,$ et dans lequel conséquemment l’angle opposé à $\gamma$ est $C\,;$ ce triangle donnera, comme l’on sait,

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b\,;$

mais le triangle proposé donne

1. Voyez la pag. 55 du précédent volume.