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DES ÉQUATIONS

d’où, en remontant à celles qui précèdent, nous conclurons

${\begin{aligned}Bz+2aC=&-3Dz,\\\\-z+aB=&0.\end{aligned}}$

Cela donne

$B=+{\frac {z}{a}},\qquad C=-{\frac {z^{2}}{2(a^{2}-z^{2})}},\qquad D=+{\frac {z^{3}}{3(a^{2}-z^{2})}}\,;$

mais la condition relative à la constante donne

$A={\frac {a-1}{z}}B-{\frac {(a-1)^{2}}{z^{2}}}C+{\frac {(a-1)^{3}}{z^{3}}}D\,;$

substituant donc les valeurs ci-dessus ; il viendra

$A={\frac {a-1}{a}}+{\frac {(a-1)^{2}}{2(a^{2}-z^{2})}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3(a^{2}-z^{2})}}\,;$

faisant enfin $z=0$ et changeant $a$ en $x,$ nous aurons

$\operatorname {Log} .x={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}\,;$

formule plus exacte que la précédente ; mais, comme elle, seulement pour les valeurs de $x$ peu différentes de l’unité.

Posons encore

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5}\,;\qquad$(5″)

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}\,;\qquad$(6″)

en substituant dans l’équation (1), elle deviendra

$(a+zx)\left(B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}\right)\,;$