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DOUBLES

${\begin{aligned}&Az^{2}+A'z+{\frac {pa^{2}+qa}{2}},\\&Bz^{2}+B'z+{\frac {pb^{2}+qb}{2}},\end{aligned}}$

qu’il faille faire venir des nombres de cette forme, par une détermination convenable de $z.$ Posons, pour leurs racines,

${\begin{aligned}&\alpha z+a,\\&\beta z+b\,;\end{aligned}}$

nous aurons les équations de condition

${\begin{aligned}&Az^{2}+A'z+{\frac {pa^{2}+qa}{2}}={\frac {p\left(\alpha z+a\right)^{2}+q\left(\alpha z+a\right)}{2}},\\&Bz^{2}+B'z+{\frac {pb^{2}+qb}{2}}={\frac {p\left(\beta z+b\right)^{2}+q\left(\beta z+b\right)}{2}},\end{aligned}}$

lesquelles donneront, en chassant les dénominateurs, réduisant et divisant par $z,$

${\begin{aligned}pz\alpha ^{2}+(2pa+q)\alpha -2(Az+A')&=0,\\pz\beta ^{2}+(2pb+q)\beta -2(Bz+B')&=0\,;\end{aligned}}$

d’où, on tire

${\begin{aligned}&\alpha ={\frac {-(2pa+q)\pm {\sqrt {8p\left(Az^{2}+A'z+{\frac {pa^{2}+qa}{2}}\right)+q^{2}}}}{2pz}},\\\\&\beta ={\frac {-(2pb+q)\pm {\sqrt {8p\left(Bz^{2}+B'z+{\frac {pb^{2}+qb}{2}}\right)+q^{2}}}}{2pz}}\,;\end{aligned}}$