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ÉGALITÉS.

en résulte pour $z$ une même valeur entière telle que $3z+1$ et $3z+3$ soient respectivement divisibles par $\alpha$ et $\beta .$ On remplit, en particulier, ces conditions, en posant $\alpha =-1,\ \beta =+1\,;$ il en résulte $z=8$ et

${\frac {3z+1}{\alpha }}=25,\qquad {\frac {3z+3}{\beta }}=-27.$

Tous les autres systèmes de valeurs de $\alpha$ et $\beta$ qui peuvent résoudre le problème sont renfermés dans l’équation indéterminée

${\frac {8\alpha ^{2}-\alpha -1}{2\alpha ^{2}-3}}={\frac {12\beta ^{2}-\beta -3}{2\beta ^{2}-3}}.$

Si, au lieu de résoudre les deux équations par rapport à $z$ on les résout par rapport à $\alpha$ et $\beta ,$ il viendra

$\alpha ={\frac {1\pm {\sqrt {24z^{2}+104z+33}}}{2(z+4)}},\qquad \beta ={\frac {1\pm {\sqrt {24z^{2}+168z+145}}}{2(z+6)}}\,;$

et, comme $\alpha$ et $\beta$ doivent être rationnels, il s’agira de trouver une valeur de $z$ qui rende à la fois des quarrés les deux fonctions

$24z^{2}+104z+33,\qquad 24z^{2}+168z+145.$

C’est ce qui arrive, par exemple, en posant $z=8,$ ce qui fait devenir ces deux fonctions

$49^{2},\qquad 55^{2},$

il en résulte

$\alpha ={\frac {1\pm 49}{24}},\qquad \beta ={\frac {1\pm 55}{28}}.$

7. Supposons enfin que les derniers termes des deux fonctions ne soient pas des nombres figurés, que leurs premiers termes n’aient pas pour coefficiens les doubles de deux quarrés, et qu’en outre