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ÉGALITÉS.

unité, il est évident que, quelque valeur encore qu’on attribuât à la variable, ces deux fonctions demeureraient toujours des nombres triangulaires.

5. Les deux fonctions, toujours décomposables en deux facteurs, ne se trouvant pas dans le cas dont il vient d’être question, on peut quelquefois, d’une manière fort simple, obtenir une solution et même plusieurs solutions du problème. Soient, par exemple, les deux fonctions

$3z^{2}+13z+4=(z+4)(3z+1),\quad 3z^{2}+21z+18=(z+6)(3z+3)\,;$

on écrira les équations

${\begin{array}{rr}2(z+4)-(3z+1)=\pm 1,&2(z+6)-(3z+3)=\pm 1,\\2(3z+1)-(z+4)=\pm 1,&2(3z+3)-(z+6)=\pm 1.\end{array}}$

À cause des doubles signes des seconds membres, les équations de chaque colonne équivalent à quatre ; en les résolvant successivement, on trouve

${\begin{array}{lll}z=6,&z=\ \ \ 8,\\z=8,&z=\ \,10,\\z={\frac {1}{5}},&z=+{\frac {1}{5}},\\z={\frac {3}{5}},&z=-{\frac {1}{5}},\\\end{array}}$

les valeurs $8$ et ${\frac {1}{5}}$ communes aux deux colonnes résolvent évidemment le problème. En faisant, en effet, $z=8,$ les deux fonctions deviennent

$300={\frac {24.25}{2}},\qquad 378={\frac {27.28}{2}}\,;$

et en faisant $z={\frac {1}{5}},$ elles deviennent