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DOUBLES

$+19,\qquad +12\,;$

ou bien

$-20,\qquad -13,$

ce qui donne, pour les nombres triangulaires eux-mêmes

${\frac {19.20}{2}}=-{\frac {-20.-19}{2}}=190,\qquad {\frac {12.13}{2}}=-{\frac {-13.-12}{2}}=78\,;$

c’est, en effet, à quoi se réduisent les fonctions proposées lorsqu’on y fait $z=4$.

Si, au lieu de résoudre les deux équations par rapport à $\alpha$ et à $\beta ,$ on les résout par rapport à $z,$ il viendra

$z=-{\frac {25\alpha -16}{\alpha ^{2}-10}},\qquad z=-{\frac {7\beta -4}{\beta ^{2}-8}},$

d’où

${\frac {25\alpha -16}{\alpha ^{2}-10}}={\frac {7\beta -4}{\beta ^{2}-8}}\,;$

relation qui devra constamment exister entre les indéterminées $\alpha ,\beta$ quelque valeur qu’on leur assigne d’ailleurs.

Cette équation de relation, par l’application des méthodes connues, pourra donc servir à trouver une infinité de systèmes de valeurs rationnelles de $\alpha$ et $\beta ,$ desquelles on pourra conclure les valeurs correspondantes de $z.$ Celles d’entre ces valeurs qui rendront $\alpha z$ et $\beta z$ entiers résoudront le problème ; car elles rendront également entiers les nombres $\alpha z+12$ et $\beta z+3,$ racines des nombres triangulaires auxquels se réduiront les deux polynômes proposés, par la substitution de la valeur de $z.$

2. Soient, en second lieu, les deux fonctions

$18z^{2}+7z+7,\qquad 8z^{2}+5z+4,$