Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/100

96

PRESSION DES FLUIDES

Suivant lui, lorsque le plan $\mathrm {AB}$ a une vitesse uniforme $V',$ il faut, dans l’équation

$Pg=AV^{2},$

changer $V$ en $V-V'\,;$ ce qui donne

$Pg=A(V-V')^{2}\,;$

l’effet serait alors égal à

${\frac {AV'(V-V')^{2}}{g}}\,;$

expression dont le maximum a effectivement lieu lorsque $V'={\frac {1}{2}}V.$

D’après la formule

$Pg=A(V-V')^{2},$

le plan $\mathrm {AB}$ recevrait le même choc que dans le cas où il serait immobile et où le fluide n’aurait qu’une vitesse $V-V'$ due à une hauteur $h'$ qui serait donnée par l’équation $(V-V')^{2}=2gh'.$

Or, ce principe, qui est vrai lorsque l’on considère le choc de chaque molécule fluide isolément, cesse de l’être, quand on prend la somme de tous les chocs particuliers.

En effet, lorsque le fluide a une vitesse $Vg,$ et le plan une vitesse $V',$ la dépense d’eau par seconde est égale à $AV$ mais, quand le fluide n’a qu’une vitesse $V-V',$ la dépense n’est plus que $A(V-V').$ Donc si, dans ce dernier cas, la quantité de mouvement perdu par le fluide pendant le temps $\operatorname {d} t$ est $A(V-V')^{2}\operatorname {d} t\,;$ elle sera dans le premier

$A(V-V')^{2}.{\frac {AV}{A(V-V')}}\operatorname {d} t\,;$

et l’on aura

$Pg=AV(V-V')\,;$

c’est la formule que nous avons trouvée plus haut. Je crois donc avoir complètement prouvé ce que j’avais avancé.

Agréez, etc.

Toulouse, Le 16 de septembre 1819.