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CONSÉCUTIVES.

$\operatorname {d} \beta +{\frac {R}{2r}}\operatorname {d} \beta \quad$ou$\quad \operatorname {d} \beta .{\frac {R+2r}{2r}}.$

Le point ${\rm {P}}$ s’est déplacé, dans le sens du cercle fixe ${\rm {AH,}}$ de $R\operatorname {d} \beta \,;$ pour avoir ce déplacement, mesuré perpendiculairement à la normale, on le multipliera par $\operatorname {Sin} .\alpha ,$ ou par ${\frac {\overline {\rm {MP}}}{2r}}\,;$ ce qui fera $\operatorname {d} \beta .{\frac {R}{2r}}.{\overline {\rm {MP}}}.$ Or, à la limite, ce même déplacement est égal à ${\overline {\rm {PN}}},$ multiplié par l’angle des deux normales ; on a donc,

${\overline {\rm {PN}}}.\operatorname {d} \beta {\frac {R+2r}{2r}}=\operatorname {d} \beta .{\frac {R}{2r}}.{\overline {\rm {MP}}}.$

d’où

${\frac {\overline {\rm {MP}}}{\overline {\rm {NP}}}}={\frac {R+2r}{2r}}.$

Il est facile de conclure du rapport constant des deux lignes ${\overline {\rm {MP}}},{\overline {\rm {PN}}}$ que, si l’on décrit, au-dessous du cercle générateur, un autre cercle, dont le diamètre soit à celui du premier dans le rapport ${\frac {R}{R+2r}}\,;$ c’est-à-dire, dans le rapport des distances au centre ${\rm {O,}}$ le point ${\rm {N}}$ de la développée se trouvera toujours sur ce cercle ; et comme l’arc ${\rm {QN}}$ sera toujours égal à ${\rm {QC,}}$ le point ${\rm {N}}$ décrira une nouvelle épicycloïde semblable ; mais réduite, dans le rapport ${\frac {R}{R+2r}}.$ On peut aisément se convaincre, d’après cela, que cette propriété identifie l’épicycloïde avec la courbe limite de notre théorème ; car, en désignant par $S$ l’arc ${\rm {AN,}}$ et par $\phi$ l’angle décrit par la normale ou la tangente, on aura

${\rm {AN}}=S={\rm {MN={\overline {\rm {QS}}}\operatorname {Sin} .\alpha \,;}}$

mais ${\rm {QS=CB,}}$ et ${\rm {CB}}$ est précisément la courbe totale ${\rm {ANC\,;}}$ en l’appelant donc $\Sigma ,$ on a