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CONSÉCUTIVES.

$\Sigma _{2n+1}=a_{2n}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -a_{2n-2}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+a_{2n-4}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots$

$\pm \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}$

et qu’on avait généralement

$a_{2n}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n}\left\{1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+\ldots \right\}.$

Pour $n$ très-grand, la série se réduit à l’unité, et l’on a, à la limite

$a_{2n}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n},$

on peut donc, en vertu de la convergence de la série

$\int S_{0}\operatorname {d} \phi -\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots ,$

poser, pour $n$ infini

$\Sigma _{2n+1}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n}\left\{{\frac {q}{\omega }}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -\left({\frac {q}{\omega }}\right)^{3}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\left({\frac {q}{\omega }}\right)^{5}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots \right\}.$

}}

On conclut de là que le rapport ${\frac {\Sigma _{2n-1}}{\Sigma _{2n+1}}}$ de deux développantes successives d’ordre impair est, à la limite, égal à ${\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}}\,;$ mais comme on a, pour un arc variable, correspondant à l’angle $\phi ,$

$S_{2n}=\phi \Sigma _{2n-1}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}\Sigma _{2n-3}+\ldots \pm {\frac {\phi ^{2n-1}}{(2n-1)!}}\Sigma _{1}\mp \int ^{2n}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n},$

on pourra poser, à la limite,

$S^{2n}={\tfrac {\omega }{q}}\Sigma _{2n+1}=\left\{{\tfrac {\phi }{1}}{\tfrac {q}{\omega }}-{\tfrac {\phi ^{3}}{3!}}\left({\tfrac {q}{\omega }}\right)^{3}+{\tfrac {\phi ^{5}}{5!}}\left({\tfrac {q}{\omega }}\right)^{5}-\ldots \right\}=\Sigma _{2n+1}.{\tfrac {\omega }{q}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {\phi q}{\omega }}.$

En faisant, dans cette équation, $\phi =\omega ,$ on aura l’arc total $\Sigma _{2n}={\frac {\omega }{q}}\Sigma _{2n-1}\,;$ on peut donc écrire