Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/89

85

CONSÉCUTIVES.

et telle est l’expression générale des coefficiens $a_{2},a_{4},a_{6},\ldots a_{2n},$ qui, comme on l’a vu, donnent la valeur de la développante $\Sigma _{2n+1}\,;$ savoir

$\Sigma _{2n+1}=a_{2n}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -a_{2n-2}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+a_{2n-4}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots$

$\pm \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}$

Pour appliquer cette formule à la démonstration du théorème énoncé, nous prendrons d’abord le cas le plus simple, c’est-à-dire, celui où l’angle $\omega =q\,;$ il est visible qu’alors $a_{2n}$ tendra vers la limite constante ${\frac {2}{q}},$ puisqu’alors $\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n}$ sera l’unité, et que la série numérique qui entre dans l’expression de $a_{2n}$ converge très-promptement vers l’unité. Et, comme les premiers coefficiens $a_{2},a_{4},a_{6},\ldots$ n’affectent que les intégrales $\int ^{2n-1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n-1},$ $\int ^{2n-3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n-3},\ldots$ qui, comme on l’a démontré, décroissent indéfiniment ; il en résulte que, pour $n$ très-grand, on aura sensiblement

$\Sigma _{2n+1}={\frac {2}{q}}\left\{\int S_{0}\operatorname {d} \phi -\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots \right\}.$

${\begin{aligned}&A_{2}={\frac {1}{2!}},\\&A_{4}={\frac {1}{2!}}A_{2}-frac{1}{4!},\\&A_{6}={\frac {1}{2!}}A_{4}-frac{1}{4!}A_{2}+frac{1}{6!},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Soit par ${\frac {\operatorname {d} ^{2n}.{\rm {{S{\acute {e}}c}.x}}}{\operatorname {d} x^{2n}}},$ en y faisant $x=0\,;$ en sorte qu’on a

$1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+{\frac {1}{9^{2n+1}}}-\ldots ={\frac {1}{2}}\left({\frac {\varpi }{2}}\right)^{2n+1}.{\frac {\operatorname {d} ^{2n}.{\rm {{S{\acute {e}}c}.x}}}{\operatorname {d} x^{2n}}}$