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CONSÉCUTIVES.

La loi de ses développemens se trouve suffisamment établie, par les équations même qui ont servi à les obtenir : on passe d’un arc de numéro pair au suivant, en intégrant à partir de $\phi =0\,;$ et de ce dernier à l’arc de numéro pair qui vient après, en retranchant une intégrale semblable du terme correspondant de la suite $\phi \Sigma _{1},$$\phi \Sigma _{3},\phi \Sigma _{5},\ldots .$

Comme les développantes de numéros impairs $\Sigma _{1},\Sigma _{3},\Sigma _{5},\ldots$ entrent seules avec les intégrales successives $\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2},\int ^{4}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{4},$$\ldots$ dans les expressions de tous ces arcs, nous allons examiner seulement comment varient ces développantes. Comme $\omega$ n’est autre chose que la valeur de $\phi$ qui répond à l’arc ${\rm {A_{1}A_{0}}}=\Sigma _{0}\,;$ il s’ensuit qu’on doit avoir

${\begin{aligned}&\Sigma _{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,\\&\Sigma _{3}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}\Sigma _{1}-\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3},\\&\Sigma _{5}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}\Sigma _{3}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}\Sigma _{1}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\Sigma _{2n+1}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}\Sigma _{2n-1}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}\Sigma _{2n-3}+{\frac {\omega ^{6}}{6!}}\Sigma _{2n-5}-\ldots \pm {\frac {\omega ^{2n}}{(2n)!}}\Sigma \mp \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}\end{aligned}}$

Pour avoir le développement du terme général $\Sigma _{2n+1},$ après qu’on en a éliminé tous ceux $\Sigma _{2n-3},\Sigma _{2n-5},\ldots \Sigma _{1}$ qui le précèdent, soient multipliées ces équations, excepté la dernière, par des coefficiens $a_{2n},$ $a_{2n-2},$ $a_{2n-4},\ldots$ $a_{4},a_{2},$ et formons-en la somme, en égalant à zéro les quantités qui multiplient $\Sigma _{2n-1},\Sigma _{2n-3},$$\Sigma _{2n-5},\ldots \Sigma _{3},S_{1}\,;$ nous aurons ainsi

$\Sigma _{2n+1}=a_{2n}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -a_{2n-2}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+a_{2n-4}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots$

$\pm \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}$

les coefficiens $a_{2},a_{4},a_{6},\ldots a_{2n}$ étant déterminés par les équations