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DES DÉVELOPPANTES

mens de l’angle $\phi ,$ c’est-à-dire, à des mouvemens de la tangente inverses de son mouvement primitif.

Avant de passer à d’autres propositions qu’on peut conclure du précédent théorème, nous ferons remarquer que les arcs de développantes consécutifs, correspondant à un angle donné $\phi ,$ doivent nécessairement décroitre sans cesse, de manière à devenir enfin moindres que toute longueur donnée ; du moins tant que l’arc primitif n’est pas infini ; car, puisque chacune des séries

$S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots =S_{0}-\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2}+\int ^{4}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{4}-\ldots ,$

$S_{1}-S_{3}+S_{5}-S_{7}+\ldots =\int S_{0}\operatorname {d} x-\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots ,$

se décompose en d’autres dont la sommation ne dépend que de celles de $\operatorname {Sin} .\phi ,$ de $\operatorname {Cos} .\phi$ et des intégrales $\int \operatorname {d} S_{0}.\operatorname {Cos} .\phi ,\int \operatorname {d} S_{0}.\operatorname {Sin} .\phi ,$ lesquelles s’obtiennent toujours, quel que soit $\phi ,$ lorsque $S_{0}$ n’est pas infini ; il s’ensuit que ces séries en $S_{0},S_{1},S_{2},\ldots ,$ sont toujours convergentes, et qu’ainsi les arcs dont on vient de parler finissent par s’approcher indéfiniment de zéro.

On parviendrait à la même conclusion, en formant la somme

$S_{0}+S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+\ldots =e^{\phi }\int e^{-\phi }\operatorname {d} S_{0}\,;$

cette intégrale devant, en effet, être finie, tant que $S_{0}$ le sera lui-même, on est certain que la série dont elle exprime la valeur est convergente, et qu’ainsi les longueurs des développemens successifs, faits dans le même sens, finissent par décroitre indéfiniment.

THÉORÈME II. Si l’on forme la développante d’un arc de courbe quelconque, puis la développante de cette développante, puis la développante de cette dernière courbe, et ainsi de suite, en alternant constamment la direction du mouvement de la tangente ; c’est-à-dire, en faisant commencer chaque développante au point où finit celle qui la précède immédiatement ; ces développantes se trouveront