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CONSÉCUTIVES.

ou, en faisant tout passer sous le même signe d’intégration, ce qui est permis, puisque les limites sont les mêmes,

$S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots =\operatorname {Cos} .\phi \int \operatorname {d} S_{0}\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\phi \int \operatorname {d} S_{0}\operatorname {Sin} .\phi .$

Or, $\int \operatorname {d} S_{0}\operatorname {Cos} .\phi$ et $\int \operatorname {d} S_{0}\operatorname {Sin} .\phi .$ sont les projections de la courbe primitive sur les tangente et normale au point ${\rm {A\,;}}$ en représentant donc respectivement ces projections par $x$ et $y\,;$ on aura

$S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots =x\operatorname {Cos} .\phi +y\operatorname {Sin} .\phi ,$

et on trouverait pareillement

$S_{1}-S_{3}+S_{5}-S_{7}+\ldots =x\operatorname {Sin} .\phi -y\operatorname {Sin} .\phi .$

Or, ce sont précisément là les formules au moyen desquelles on passe d’un système rectangulaire à un autre système rectangulaire formant un angle $\phi$ avec le premier, d’où il suit que ces deux séries ne sont autre chose que les projections de l’arc ${\rm {AM_{0}}}$ sur la tangente et sur la normale à son autre extrémité ${\rm {M_{0},}}$ ainsi que l’énonce le théorème.

Les développemens de $S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ,$ d’où nous avons conclu ce théorème, ne supposent aucunement que la relation entre les deux variables $S_{0}$ et $\phi ,$ puisse être exprimée par une fonction analitique, unique et continue ; ils ne sont fondés, en effet, que sur le principe d’intégration par parties, lequel a toujours lieu quel que puisse être le genre de dépendance entre $S_{0}$ et $\phi .$ Il faut seulement observer que, dans les séries

$S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots ,$

$S_{1}-S_{3}+S_{5}-S_{7}+\ldots ,$

les arcs $S_{0},S_{1},S_{2},\ldots ,$ doivent se mesurer en prenant négativement les portions de développantes qui répondraient à des décroisse-