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DES ÉQUATIONS.

$ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+\ldots px+q=0\,;\qquad (X=0)$

et soit

$\alpha y^{m-1}+\beta y^{m-2}+\gamma y^{m-3}+\ldots \omega y+\rho =0,\qquad (Y=0)$

l’équation qu’on obtient en éliminant $x$ entre la dérivée

$max^{m-1}+(m-1)bx^{m-2}+(m-2)cx^{m-3}+\ldots +p=0,\qquad (X'=0)$

de la proposée et l’équation

$ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+\ldots px+q=y.$^[1]$\qquad (X=y)$

Cela posé, soient $V$ et $P$ respectivement le nombre des variations et le nombre des permanences de l’équation $Y=0,$ ce qui donnera $V+P=m-1.$ Si la proposée $X=0$ est de degré impair, le nombre de ses racines imaginaires sera

$\pm (V-P)\,;$

et si, au contraire, elle est d’un degré pair, le nombre de ses racines imaginaires sera

1. Il est patent, par tout ce qui précède, que l’équation $Y=0$ ne doit pas excéder le $(m-1)^{me}$ degré : cela résulte aussi de la théorie de l’élimination. Bezout a démontré, en effet, que si l’on a deux équations en $x$ et $y$ dans lesquelles les plus hautes puissances de $x$ soient respectivement $p+p',$ $q+q'$ et celles de $y$ seulement $p,q,$ l’équation finale en $y$ n’excéderait pas le degré $(p+p')(q+q')-p'q'.$ Or, nous avons ici $p+p'=m,\ q+q'=m-1,$$p=1,\ q=0$ d’où $p'=m-2,$ $q'=m-1$; donc le degré de l’équation en $y$ doit être au plus
   $m(m-1)-(m-1)^{2}=m-1.$