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RACINES IMAGINAIRES

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0.\qquad (X=0)$

Soient posées les deux équations

${\begin{array}{lr}ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=y.&\qquad (X=y)\\4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0\,;&\qquad (X'=0)\end{array}}$

dont la dernière n’est autre chose que la dérivée de la proposée. En éliminant $x$ entre elles, et posant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}bc-6ad&=A,&\qquad 3b^{2}-8ac&=B,&\qquad bd-16ae&=C,\\cd-6be&=E,&3d^{2}-8ce&=D,&4c^{2}-9bd&=F,\end{alignedat}}$

on obtiendra

$4096a^{3}y^{3}-16\left\{48a^{2}C-8a(2cB+3bA)+9b^{2}B\right\}y^{2}$

$+8\left\{6aC^{2}-(2cB+3bA)C-4a(BD+2AE)+2(2cA^{2}+3bBE)-cBF\right\}y$

$-\left\{C^{3}-2(BD+2AE)C+4\left(A^{2}D+E^{2}B\right)-BDF\right\}=0.$^[1]$\ (Y=0)$

1. Pour parvenir simplement à cette équation, éliminez d’abord $x$ entre les deux équations
   $4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0,$
   $bx^{3}+2cx^{2}+3d+4e=0\,;$

   en représentant par $E=\operatorname {f} (e)=0$ l’équation résultante, l’équation cherchée sera

   ${\frac {1}{6}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}E}{\operatorname {d} e^{3}}}y^{3}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}E}{\operatorname {d} e^{2}}}y^{2}+{\frac {\operatorname {d} E}{\operatorname {d} e}}y+E=0.$