a ses deux racines imaginaires, ou, ce qui revient au même, à celui où est négatif ; si nous résolvons la fonction égalée à zéro, comme équation du second degré en nous trouverons
racines essentiellement imaginaires /lorsque est négatif ; donc, dans cette hypothèse, quelque valeur que l’on donne à dans la fonction on obtiendra toujours des résultats de mêmes signes ; ils seront donc constamment positifs, puisqu’ils sont tels lorsqu’on fait, en particulier, Ainsi, dans ce cas encore, nous n’avons rien à changer à nos conclusions.
Il est un dernier cas qui a échappé à notre analise : c’est celui où les deux sommets se confondant en un seul, c’est à-dire, celui où la courbe n’ayant qu’une seule tangente parallèle à l’axe des cette tangente est l’axe des lui-même. Il est évident qu’alors la proposée doit avoir ses trois racines égales ; il faut donc que son premier membre soit un cube parfait, ou du moins soit susceptible de le devenir au moyen d’un multiplicateur convenable ; soit ce multiplicateur, la proposée devra équivaloir à
![{\displaystyle \left(x{\sqrt[{3}]{\lambda a}}+{\sqrt[{3}]{\lambda d}}\right)^{3}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8afebcf18631902dff9dd1a5c49197b7ba3ec9)
c’est-à-dire ;
![{\displaystyle \lambda \left\{ax^{3}+3x^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}d}}+3x{\sqrt[{3}]{ad^{2}}}+d\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25f507ef734056370d1899549549c0b2e936eb5)
on devra donc avoir
![{\displaystyle b=3{\sqrt[{3}]{a^{2}d}},\qquad c=3{\sqrt[{3}]{ad^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92fcd21f0d014a14fa459088fed1ca57b7607720)
d’où
![{\displaystyle b^{2}=9a{\sqrt[{3}]{ad^{2}}}=3ac,\qquad c^{2}=9d{\sqrt[{3}]{a^{2}d}}=3bd,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9982d12737849e8f67280732b27a042e17baa38)
et, par suite,
