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DES ÉQUATIONS.

1. Soit d’abord l’équation du premier degré

$ax+b=0\,;\qquad (X=0)$

on sait que $a$ étant positif, sa racine unique, toujours réelle, est positive, négative ou nulle, suivant que $-b$ est lui-même positif, négatif ou nul.

2. Soit l’équation du second degré

$ax^{2}+bx+c=0,\qquad (X=0)$

dans laquelle nous pouvons toujours supposer, et nous supposons en effet $a$ positif.

Considérons la parabole ayant pour équation

$ax^{2}+bx+c=y,\qquad (X=y)$

il est clair que la recherche des racines de la proposée se réduit à la recherche des abscisses des intersections de cette parabole avec l’axe des $x\,;$ ces racines seront donc réelles et inégales, égales ou imaginaires, suivant que les intersections de la courbe avec l’axe des $x$ seront au nombre de deux, se confondront en une seule ou n’existeront pas.

Et comme les branches extrêmes de la parabole se prolongent du côté des $y$ positives, on peut dire que la proposée aura ses deux racines réelles et inégales, égales ou imaginaires, suivant que le sommet de la courbe aura son ordonnée négative, nulle ou positive. Tout se réduit donc à obtenir l’ordonnée de ce sommet.

Au sommet de la parabole on doit avoir ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0\,;$ c’est-à-dire.

$2ax+b=0\,;\qquad (X'=0)$

c’est donc là l’équation qui donne l’abscisse du sommet de la courbe ;