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ET PARALLÉLIPIPÈDE.

des trois arêtes $A,B,C$ sur la même droite. Projetant donc successivement cette diagonale sur les directions mêmes des trois arêtes $A,B,C$ nous aurons

$\left.{\begin{aligned}\Delta \operatorname {Cos} .x=&A+B\operatorname {Cos} .c+C\operatorname {Cos} .b,\\\Delta \operatorname {Cos} .y=&B+C\operatorname {Cos} .a+A\operatorname {Cos} .c,\\\Delta \operatorname {Cos} .z=&C+A\operatorname {Cos} .b+B\operatorname {Cos} .a,\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(1)

mais, d’un autre côté, en projetant sur la diagonale $\Delta$ les trois arêtes par lesquelles on chemine de l’une à l’autre de ses extrémités, on a

$\Delta =A\operatorname {Cos} .x+B\operatorname {Cos} .y+C\operatorname {Cos} .z\,;\qquad$(2)

multipliant cette dernière équation par $\Delta ,$ et remplaçant ensuite $A\operatorname {Cos} .x,B\operatorname {Cos} .y,C\operatorname {Cos} .z$ par les valeurs que donnent les équations (1), il viendra, en extrayant la racine quarrée,

$\Delta ={\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}+2BC\operatorname {Cos} .a+2CA\operatorname {Cos} .b+2AB\operatorname {Cos} .c}}.\quad$(3)

Les équations (1) donneront ensuite

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .x=&{\frac {1}{\Delta }}(A+B\operatorname {Cos} .c+C\operatorname {Cos} .b),\\\operatorname {Cos} .y=&{\frac {1}{\Delta }}(B+C\operatorname {Cos} .a+A\operatorname {Cos} .c),\\\operatorname {Cos} .z=&{\frac {1}{\Delta }}(C+A\operatorname {Cos} .b+B\operatorname {Cos} .a),\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(4)

formules dans lesquelles il faudra mettre pour $\Delta$ la valeur que nous venons de trouver. Telles sont, en particulier, les formules qu’il faut employer pour déterminer l’intensité et la direction de la