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THÉORIE GÉNÉRALE

${\frac {B''}{A''}}-{\frac {B'}{A''}}={\frac {A'B''-B'A''}{A'A''}}={\frac {bb'b''\ldots \beta \beta '\beta ''}{A'A''}}\,;$

mais nous avons trouvé ci-dessus

$A''=A\beta ''+A'\alpha ''\,;$

posant donc

${\frac {A}{A'}}.{\frac {\beta ''}{\alpha ''}}=\omega '',$

ce qui donnera nécessairement $\omega ''<1,$

on aura

$A''=A'\alpha ''(1+\alpha ''),$

et l’on aurait semblablement

$A'=A\alpha '(1+\alpha ')\,;$

d’où on conclurait, en multipliant,

$A''=A\alpha '\alpha ''(1+\omega ')(1+\omega '')\,;$

on aura donc généralement

$A''=aa'a''\ldots \alpha \alpha '\alpha ''(1+o)(1+o')(1+o'')\ldots (1+\omega )(1+\omega ')(1+\omega '')\,;$

$o,o',o''\ldots \omega ,\omega ',\omega '',$ étant des quantités positives, plus petites que l’unité.

On aura donc ainsi ;

$A'A''=A'aa'a''\ldots \alpha \alpha '\alpha ''(1+o)(1+o')(1+o'')\ldots (1+\omega )(1+\omega ')(1+\omega '')\,;$

et par conséquent

${\frac {B''}{A''}}-{\frac {B'}{A'}}={\frac {1}{A'}}.{\frac {{\cfrac {b}{a}}.{\cfrac {b'}{a'}}.{\cfrac {b''}{a''}}\ldots {\cfrac {\beta }{\alpha }}.{\cfrac {\beta '}{\alpha '}}.{\cfrac {\beta ''}{\alpha ''}}}{(1+o)(1+o')(1+o'')\ldots (1+\omega )(1+\omega ')(1+\omega '')}}\,;$

et comme on a les inégalités.