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DES FRACTIONS CONTINUES.

En réduisant la première de ces fractions continues en fraction ordinaire, on trouvera une expression de cette forme

${\frac {B}{A}}={\frac {P\beta +Q\alpha }{M\beta +N\alpha }}\,;$

on passera de là à la valeur de ${\frac {B'}{A'}}$, en y changeant $\alpha$ en $\alpha +{\frac {\beta '}{\alpha '}},$

ce qui donnera

${\frac {B'}{A'}}={\frac {P\beta +Q\left(\alpha +{\frac {\beta '}{\alpha '}}\right)}{M\beta +N\left(\alpha +{\frac {\beta '}{\alpha '}}\right)}}={\frac {(P\beta +Q\alpha )\alpha '+Q\beta '}{(M\beta +N\alpha )\alpha '+N\beta '}}\,;$

c’est-à-dire,

${\frac {B'}{A'}}={\frac {B\alpha '+Q\beta '}{A\alpha '+N\beta '}}={\frac {Q\beta '+B\alpha '}{N\beta '+A\alpha '}}\,;$

et l’on aura de même

${\frac {B''}{A''}}={\frac {B\beta ''+B'\alpha ''}{A\beta ''+A'\alpha ''}}\,;$

d’où

$B''=B\beta ''+B'\alpha '',\qquad A''=A\beta ''+A'\alpha '',$

Éliminant $\alpha ''$ entre ces deux équations, il viendra

$A'B''-B'A''=-(AB'-BA')\beta ''\,;$

on aura donc, en général,

$A'B''-B'A''=\pm bb'b''\ldots \beta \beta '\beta ''\,;$

le signe plus ou le signe moins aura lieu, suivant que le nombre des fractions intégrantes est impair ou pair, en les supposant du moins toutes positives.

Si nous prenons la différence entre deux fractions convergentes consécutives, nous aurons, abstraction faite des signes,