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THÉORIE GÉNÉRALE

${\frac {B}{A}}={\frac {b}{a+{\frac {C}{B}}}},{\frac {C}{B}}={\frac {b'}{a'+{\frac {D}{C}}}},{\frac {D}{C}}={\frac {b''}{a''+{\frac {E}{D}}}},\ldots (3)$

c’est-à-dire,

$\left.{\begin{aligned}C=&Ab-Ba,\\D=&Bb'-Ca',\\E=&Cb''-Da'',\\\ldots &\ldots \ldots \end{aligned}}\right\}(4)$

et la question se trouvera réduite à satisfaire en nombres entiers à cette suite d’équations, dans laquelle il est évident qu’on pourra prendre à la fois arbitrairement les dénominateurs $a,a',a'',\ldots$ et les numérateurs $b,b',b'',\ldots$ des fractions intégrantes.

Or, si l’on prend constamment $b<a,\ b'<a',\ b''<a'',\ldots ,$ la fraction continue se terminera nécessairement ; en effet, on aura d’abord ${\frac {b}{a}}<1\,;$ et, comme on aura aussi ${\frac {b'}{a'}}<1,$ il s’ensuit qu’on aura $a+{\frac {b'}{a'}}>a-1\,;$ donc, on aura

${\frac {b}{a+{\frac {b'}{a'}}}}<{\frac {b}{a-1}}\,;$

mais ${\frac {b}{a-1}}$ est au plus l’unité ; donc, on aura

${\frac {b}{a+{\frac {b'}{a'}}}}<1.$

On aura, par la même raison,

${\frac {b'}{a'+{\frac {b''}{a''}}}}<1\,;$

donc