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RACINES

sommets apparens ; et l’on discute les différentes positions de l’axe comme nous venons de le faire.

4.^o Enfin, on fait $I=6\,;$ c’est-à-dire que la courbe n’a plus de sommets, et l’on raisonne comme dans les cas précédens.

Voyons donc, en résumé, ce qu’il y aura à faire pour détermiaer le nombre des racines imaginaires d’une équation, du moins jusqu’au douzième degré. La proposée étant $X=0,$ on écrira ses dérivées $X'=0,\ X''=0,$$\ X'''=0,\ldots$ en s’arrêtant à celle qui sera du 5.^me degré seulement. On formera les auxiliaires $Z=0,\ Z'=0,\ Z''=0,$ en éliminant successivement $x$ entre $X'=0$ et $XX''=z,$ entre $X''=0$ et $X'X'''=z',$ entre $X'''=0$ et $X''X''''=$$z'',\ldots$ la dernière de ces auxiliaires sera également du 5.^me degré.

$I$ étant le nombre des imaginaires de $X=0,$ et $I',I'',I''',\ldots$ celui des dérivées, ainsi que des auxiliaires, on opérera comme il suit ;

Supposons, pour fixer les idées, que la proposée soit du 8.^me degré. On déterminera, par les formules rapportées (Prob. II), le nombre $I'''$ des racines imaginaires de la dérivée $X'''=0$ et de l’auxiliaire $Z'''=0,$ lesquelles ne seront que du 5.^me degré. Par le moyen de $I''',$ et du nombre $\nu ''$ des variations de $Z''=0\,;$ on déterminera $I'',$ nombre des imaginaires de la dérivée $X''=0$ et de l’auxiliaire $Z''=0.$ Par le moyen de $I''$ et du nombre $\nu '$ des variations de $Z'=0,$ on déterminera $I',$ nombre des imaginaires de la dérivée $X'=0,$ et de l’auxiliaire $Z'=0.$ Enfin, par le moyen de $I'$ et du nombre $\nu$ des variations de $Z=0,$ on déterminera le nombre des imaginaires de la proposée. Dans toutes ces recherches, la table dont il vient d’être question ci-dessus sera d’un très-utile secours.

Au reste, il arrivera des cas où la méthode sera en défaut : ce sont ceux où, $Z$ devenant zéro, les signes de $Z=0$ ne peuvent plus fournir de solution. Ces cas arriveront lorsque quelques-unes des racines des auxiliaires deviennent nulles ou égales. Par exemple, si la proposée était $x^{6}+1=0,$