c’est que Lagrange s’est trompé en croyant que deux conditions distinctes étaient nécessaires pour la réalité des racines du 3.me degré. Après avoir donné ces deux conditions (Voyez n.o 38 de son ouvrage), il ajoute même formellement : si l’une de ces conditions manque, l’équation aura deux racines imaginaires. Il est pourtant évident que, pour que les trois racines soient réelles, il suffit que le radical du second degré qui entre dans leurs expressions soit imaginaire ; ce qui ne fournit qu’une condition unique. Cette condition, que je viens de donner, est précisément l’une de celles de Lagrange ; d’où l’on doit conclure que l’autre doit y être implicitement comprise[1].
- ↑ M. Bérard donne cinq conditions pour la réalité des racines d’une équation
du cinquième degré, en ayant soin d’observer que peut-être elles se réduisent,
à un moindre nombre. Si donc demain quelqu’un, ayant trouvé que ces conditions
peuvent être réduites à quatre ou à un moindre nombre, s’en autorisait
pour dire grossièrement que M. Bérard s’est trompé, M. Bérard aurait justement
le droit de s’en plaindre.
C’est précisément là le cas de Lagrange ; d’une part, en donnant deux conditions pour le troisième degré, il a pu dire quelque chose de superflu, mais du moins il n’a rien dit de faux. En outre, il a observé qu’en général plusieurs des conditions pouvaient rentrer dans les autres ; il a donc prévenu le reproche que lui adresse M. Bérard.
Au surplus, lorsqu’on entreprend de redresser un homme tel que Lagrange, il faudrait du moins ne pas faire les choses à demi ; et en particulier, en cette rencontre, il eut été assez convenable de montrer qu’en effet sa première condition se trouve comportée par la seconde : voici comment on peut s’en assurer.
Suivant nos notations, les deux conditions assignées par Lagrange deviennent
Or, la dernière peut être mise sous cette forme
