Cela posé, deux conditions sont nécessaires pour la réalité de toutes les racines ; 1.o il faut que tous les sommets soient réels ou apparens, et par conséquent au nombre de et cette première condition est évidemment remplie, si la dérivés a toutes ses racines réelles et inégales.
2.o Il faut de plus que tous les sommets soient concaves vers l’axe des ou que tous les de ces sommets soient maxima. Or, on sait que, quand est maximum, sa seconde dérivée a un signe contraire au sien ; donc, si l’on pose et qu’on élimine entre cette dernière équation et on obtiendra une équation en dont toutes les racines devront être négatives et qui conséquemment n’aura que des permanences ; c’est-à-dire, une équation dont tous les termes seront positifs.
La première condition exigera, à son tour, pour la réalité des racines de deux conditions semblables ; d’où l’on conclut que, pour la réalité des racines de il faut que les auxiliaires successives au nombre de aient toutes tous leurs termes positifs.
En formant ces auxiliaires sur des équations littérales, on en déduit, en fonction des coefficiens de la proposée, les conditions, de réalité de ses racines, conditions qui sont au nombre de
La méthode de Lagrange exige la formation de son équation aux quarrés des différences des racines, laquelle, dans le cas dont il s’agit, ne doit avoir que des variations de signes[1].
La méthode de Lagrange n’exige, comme l’on voit, qu’une
- ↑ Il nous paraît que cette méthode n’est point de Lagrange, mais bien de
Waring, comme cet illustre géomètre en convient lui-même, avec sa modestie
accoutumée. (Résolut. des équat. numériq., dernière édition, note III, pag. 110.)
J. D. G.
