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RECHERCHES

lume de ce recueil. Voyons quelles sont les formules qui doivent en donner la solution.

1.^o Soient $F$ le nombre des faces d’un polyèdre, toutes de $s$ sommets ; $2S$ le nombre de ses sommets, dont $S$ de ${\mathcal {f}}$ et $S$ de ${\mathcal {f}}'$ faces ; et enfin $A$ le nombre de ses arêtes ; en raisonnant comme nous l’avons fait dans la recherche des polyèdres réguliers, nous aurons les trois équations

${\begin{aligned}sF=&2A,\\({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')S=&2A,\\F+2S=&A+2\,;\end{aligned}}$

desquelles nous tirerons

$\left.{\begin{aligned}&A={\frac {2s({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')}{4s-(s-2)({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')}},\\&F={\frac {4({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')}{4s-(s-2)({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')}},\\&S={\frac {4s}{4s-(s-2)({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')}}.\end{aligned}}\right\}\quad (I)$

2.^o Soient $S$ le nombre des sommets d’un polyèdre, tous de ${\mathcal {f}}$ faces ; $2F$ le nombre de ses faces, dont $F$ de $s$ et $F$ de $s'$ faces ; et enfin $A$ le nombre de ses arêtes ; nous aurons les équations

${\begin{aligned}{\mathcal {f}}S=&2A,\\(s+s')F=&2A,\\S+2F=&A+2\,;\end{aligned}}$

desquelles nous tirerons