Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/347

339

SUR LES POLYÈDRES.

ne donnent réellement naissance qu’à deux classes de polyèdres semi-réguliers, conjugués les uns aux autres, savoir ;

Des polyèdres de $3m$ arêtes, ayant $2m$ $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {facestriangulaires}}\\&{\rm {sommets\ tri{\grave {e}}dres}}\end{aligned}}\right\}$

et $m+2\left\{{\begin{aligned}&{\rm {sommets}}\\&{\rm {faces}}\end{aligned}}\right\}$ dont $m\left\{{\begin{aligned}&{\rm {t{\acute {e}}tra{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {quadrangulaires}}\end{aligned}}\right\}$ et 2 de $m\left\{{\begin{aligned}&{\rm {faces}}\\&{\rm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}s}}\end{aligned}}\right\}$.

Voilà ce qu’on est convenu d’appeler jusqu’ici polyèdres semi-réguliers, et l’on voit qu’en rigueur ils sont, comme les réguliers en nombre infini. Mais on pourrait concevoir d’autres polyèdres qui, peut-être à plus juste titre que ceux-ci, pourraient être appelés semi-réguliers ; on pourrait concevoir, en effet,

1.^o Des polyèdres dont toutes les faces seraient des polygones réguliers égaux, et dont les sommets, en nombre pair, présenteraient aussi des angles polyèdres réguliers ; mais moitié d’une sorte et moitié d’une autre sorte.

2.^o Des polyèdres dont tous les sommets présenteraient des angles polyèdres réguliers égaux, et dont les faces, en nombre pair, seraient aussi des polygones réguliers ; mais moitié d’une sorte et moitié d’une autre.

3.^o Enfin, des polyèdres dont à la fois les faces seraient des polygones réguliers et les sommets des angles polyèdres réguliers ; mais, où les uns et les autres, en nombre pair, seraient moitié d’une sorte et moitié d’une autre.

Parmi les polyèdres semi-réguliers précédemment considérés, nous en avons déjà rencontré quelques-uns de cette sorte ; et tels sont notamment, 1.^o le polyèdre à $18$ arêtes, ayant $12$ faces triangulaires et $8$ sommets, dont $4$ trièdres et $4$ hexaèdres ; 2.^o le polyèdre à $18$ arêtes, ayant $12$ sommets trièdres et $8$ faces, dont $4$ triangulaires et $4$ hexagonales. Mais on conçoit qu’il est possible qu’il en existe d’autres encore ; et le problème de la recherche de leur totalité est un problème qui a été proposé à la page 256 du VII.^e vo-