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RECHERCHES

Seconde classe.

$2A$ faces, toutes triangulaires ;

$F+S$ ou $A+2$ sommets, dont $F$ de $s$ faces et $S$ de $2{\mathcal {f}}$ faces ;

$Fs+A$ ou $3A$ arêtes.

Semi-réguliers par défaut. Première classe.

$A$ sommets, tous tétraèdres ;

$F+S$ ou $A+2$ faces, dont $S$ de ${\mathcal {f}}$ sommets et $F$ de $s$ sommets ;

$S{\mathcal {f}}$ ou $2A$ arêtes.

Seconde classe.

$2A$ sommets, tous trièdres ;

$F+S$ ou $A+2$ faces, dont $S$ de ${\mathcal {f}}$ sommets et $F$ de $2s$ sommets ;

$S{\mathcal {f}}+A$ ou $3A$ arêtes.

Faisons d’abord l’application de ces formules aux cinq corps réguliers qui, ayant des faces d’une grandeur finie, enferment une portion finie de l’espace.

Pour le tétraèdre, on a $A=6,\ S=4,\ F=4,\ s=3,\ {\mathcal {f}}=3\,;$ ce polyèdre fournira donc

1.^o Un hexaèdre régulier.

2.^o Un corps à $12$ faces triangulaires, ayant $8$ sommets dont $4$ trièdres et $4$ hexaèdres, et $18$ arêtes.

3.^o Un octaèdre régulier.

4.^o Un corps à $12$ sommets trièdres, ayant $8$ faces, dont $4$ triangulaires et $4$ hexagonales, et $18$ arêtes.

Pour l’hexaèdre, on a $A=12,\ S=8,\ F=6,\ s=4,\ f=3\,;$ ce polyèdre fournira donc

1.^o Un corps à $12$ faces rhombes, ayant $14$ sommets, dont $6$ trièdres et $8$ tétraèdres, et $24$ arêtes.

2.^o Un corps à $24$ faces triangulaires, ayant $14$ sommets, dont $6$ tétraèdres et $8$ hexaèdres, et $36$ arêtes.

3.^o Un corps à $12$ sommets tétraèdres, ayant $14$ faces, dont $8$ triangulaires et $6$ quadrangulaires, et $24$ arêtes,