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THÉORÈMES ET PROBLÈMES DE GÉOMÉT.^e ÉLÉM.^e

THÉORÈME. Soient ${\rm {A,A',A''}}$ les trois sommets d’un triangle ; et ${\rm {AP,A'P',A''P''}}$ ses trois hauteurs, se coupant, comme l’on sait, en un même point ${\rm {C,}}$ on aura cette suite de rapports égaux

${\rm {{\frac {AA'.A'A''.A''A}{A''P''.AP.A'P'}}={\frac {AC.A'C.A''C}{A''P'.AP''.A'P}}={\frac {AC.A'C.A''C}{A'P''.A''P.AP'}}.}}$

Démonstration. Les triangles

${\rm {APA',APA'',A'P'A'',A'P'A,A''P''A,A''P''A',}}$

sont respectivement semblables aux triangles

En divisant l’une par l’autre, les deux premières suites d’égalités, on aura

${\frac {x}{b}}={\frac {x'}{b'}}={\frac {x''}{b''}}\,;$

le triangle $bb'b''$ est donc semblable au triangle $xx'x''\,;$ ses hauteurs $c,c',c'',$ doivent donc être proportionnelles aux hauteurs $aa'a''$ de celui-là, on doit donc avoir

${\frac {x}{a}}={\frac {b}{c}},\qquad {\frac {x'}{a'}}={\frac {b'}{c'}},\qquad {\frac {x''}{a''}}={\frac {b''}{c''}}\,;$

d’où

$x={\frac {ab}{c}},\qquad x'={\frac {a'b'}{c'}},\qquad x''={\frac {a''b''}{c''}},$

ce qui fournit une construction assez élégante. Au surplus, la construction peut être réduite à ce qui suit :

Avec les trois hauteurs données, prises pour côtés, formez un triangle, dont vous menerez les trois hauteurs ; avec ces trois nouvelles hauteurs, prises également pour côtés, formez un second triangle, dont vous menerez une seule hauteur quelconque ; et prolongez-la au-dessous de la base, de manière qu’elle devienne égale à la hauteur correspondante du triangle cherché. En menant, par l’extrémité de ce prolongement, une parallèle à la base, elle formera, avec les deux outras côtés prolongés, le triangle demandé.

J. D. G.