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ANGLE PLAN, TRIANGLE,

$(ABC)=($$^{\displaystyle CBA}$$),\qquad (A$$^{\displaystyle B}$$C)=($$^{\displaystyle A}$$B$$^{\displaystyle C}$$),$

$(AB$$^{\displaystyle C}$$)=($$^{\displaystyle BA}$$C),\qquad ($$^{\displaystyle A}$$BC)=(A$$^{\displaystyle CB}$$).$

Présentement, chacun de nos trois angles dièdres $(A),(B),(C),$ considéré comme indéfini, se trouvant composé de deux angles trièdres, on doit avoir, en ayant égard aux relations ci-dessus,

$(ABC)+($$^{\displaystyle A}$$BC)=(A),$

$(ABC)+(A$$^{\displaystyle B}$$C)=(B),$

$(ABC)+(AB$$^{\displaystyle C}$$)\quad$ou$(ABC)+($$^{\displaystyle BA}$$C)=(C)\,;$

d’où, en ajoutant,

$2(ABC)+(ABC)+($$^{\displaystyle A}$$BC)+(A$$^{\displaystyle B}$$C)+($$^{\displaystyle BA}$$C)=(A)+(B)+(C)\,;$

mais, la somme des angles trièdres de même sommet situés d’un même côté d’un plan devant valoir quatre angles droits trièdres, on aura, en représentant l’angle droit trièdre par $\Delta$

$(ABC)+($$^{\displaystyle A}$$BC)+(A$$^{\displaystyle B}$$C)+($$^{\displaystyle BA}$$C)=4\Delta ,$

retranchant cette équation de la précédente, il viendra en divisant par $2\Delta$

${\frac {(ABC)}{\Delta }}={\frac {(A)}{2\Delta }}+{\frac {(B)}{2\Delta }}+{\frac {(C)}{2\Delta }}-2.$

Si l’on représente par $D$ l’angle droit dièdre, on aura $2\Delta =D,$ et par conséquent

${\frac {(ABC)}{\Delta }}={\frac {(A)}{D}}+{\frac {(B)}{D}}+{\frac {(C)}{D}}-2\,;$