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CONTINUES.

$e=1+{\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{7-\ldots }}}}}}}}}}}}}}$

résultats déjà obtenus par M. Bret, à la page 50 de ce volume ; mais dont notre procédé rend la loi beaucoup plus manifeste.

7.^o On sait que

$(1+x)^{m}=1+{\frac {m\operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {m^{2}\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{1.2}}+{\frac {m^{3}\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{1.2.3}}+\ldots$

égalant celle valeur de $(1+x)^{m}$ au dernier des deux développemens que nous en avons obtenus ci-dessus, il viendra, en supprimant l’unité de part et d’autre et divisant ensuite par $m$

${\frac {\operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {m\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{1.2}}+\ldots ={\cfrac {mx}{1-{\cfrac {(m-1)x}{2+{\cfrac {(m+1)x}{3-{\cfrac {2(m-2)x}{4+{\cfrac {2(m+2)x}{5-\ldots }}}}}}}}}}$

faisant enfin l’indéterminée $m=0,$ nous aurons

$\operatorname {l} (1+x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{3+{\cfrac {4x}{4-{\cfrac {4x}{5+{\cfrac {9x}{6-{\cfrac {9x}{7+{\cfrac {16x}{8-{\cfrac {16x}{9+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

et par conséquent

$\operatorname {l} 2={\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3-{\cfrac {4}{4+{\cfrac {4}{5-{\cfrac {9}{6+{\cfrac {9}{7-\ldots }}}}}}}}}}}}}}$