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LIGNES ET SURFACES

dans laquelle $r$ sera une quantité tout-à-fait arbitraire. L’équation du système de cette surface conique et de la surface cylindrique (22) sera donc

$\left(R'x^{2}+Ry^{2}+rz^{2}\right).{\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)=0.\qquad$(35)

Si, présentement, on veut savoir suivant quelles courbes ce système de surfaces conique et cylindrique coupe la surface proposée, tout se réduira à considérer comme équations d’un même problème indéterminé à trois variables, soit les deux équations (23, 35) soit toute combinaison qu’on voudra faire de ces deux-là. On pourra donc, en particulier, dans cette recherche, substituer à l’équation (23) sa différence avec l’équation (35), qui est, en divisant par $z,$ ce qui revient à exclure le plan des $xy,$

$2RR'\left[\operatorname {F} _{m-1}(x,y)+z\operatorname {F} _{m-2}(x,y)+\ldots +z^{m-2}.\operatorname {F} _{1}(x,y)+z^{m-1}.\operatorname {F} _{0}(x,y)\right]$

$+rz.{\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)=0\,;\qquad$(36)

d’où il suit que ces courbes seront toutes situées sur la surface (36) ; c’est-à-dire, sur une surface de l’ordre $m-1$, laquelle ne passe ni par l’origine ni par la courbe (32), conformément à l’énoncé du théorème.

Si, dans la vue de savoir suivant quelle ligne cette surface coupe le plan des $xy,$ c’est-à-dire le plan tangent, on fait, dans cette équation, $z=0$ ; l’équation résultante en $x,y,$ qui sera

$\operatorname {F} _{m-1}(x,y)=0,$

ne renfermant plus l’indéterminée $r,$ sera celle d’une ligne de l’ordre $m-1$ tout-à-fait fixe, quelle que soit la surface conique (34), et ne passant pas par le point de contact ; ce qui est encore conforme à l’énoncé du théorème qui se trouve ainsi complètement démontré.

En se fondant sur le Théorème II, on démontrera aisément, comme nous l’avons fait pour le Théorème III, que, pour chaque surface conique en particulier, la condition de passer par les intersections tant de cette surface conique que de la surface cylindrique (22) avec la surface proposée, détermine complètement la surface (36).