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DE TOUS LES ORDRES.

aux tangentes principales, et les longueurs de ces diamètres proportionnelies aux racines quarrées des rayons de plus grande et de moindre courbure qui répondent au point de contact ; cette surface conique coupera la surface proposée suivant un certain nombre de courbes, variables comme la surface conique qui leur aura donné naissance.

Or, tant ces courbes variables que les courbes fixes dont il a été question ci-dessus, se trouveront toujours appartenir à une surface de l’ordre $m-1$ qui, dans toutes les variations qu’elle pourra subir, coupera toujours le plan tangent suivant une même ligne fixe de l’ordre $m-1,$ qui ne passera pas par le point de contact. »

Démonstration. Soient pris encore, comme ci-dessus, pour axes des $x$ et des $y$ les deux tangentes principales ; et soit prise pour axe des $z$ la droite fixe, menée par le point de contact ; si l’on représente toujours par $R,R'$ les deux rayons de plus grande et de moindre courbure en ce point, on pourra prendre de nouveau pour équation de la surface proposée l’équation (23), c’est-à-dire, l’équation

$\left(R'x^{2}+Ry^{2}\right).{\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)-2RR'z\left[\operatorname {F} _{m-1}(x,y)+z\operatorname {F} _{m-2}(x,y)+z^{2}\operatorname {F} _{m-3}(x,y)\right.$

$\left.+\ldots +z^{m-2}.\operatorname {F} _{1}(x,y)+z^{m-1}.\operatorname {F} _{0}(x,y)\right]=0\,;\qquad$(23)

et le plan des $xy,$ c’est-à-dire, le plan tangent à l’origine sera encore coupé par cette surface suivant une ligne de l’ordre $m-2,$ ayant pour équation

${\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)=0,\qquad$(22)

laquelle sera aussi l’équation d’une surface cylindrique ayant sa directrice parallèle à l’axe des $z,$ et coupant le plan tangent suivant cette courbe.

Quant à la surface conique du second ordre, ayant les centres de toutes ses sections parallèles au plan des $xy$ sur l’axe des $z,$ et les diamètres principaux de ces mêmes sections respectivement parallèles aux axes des $x$ et des $y$, et proportionnels aux racines quarrées des rayons de plus grande et de moindre courbure de la surface (23) à l’origine ; il est clair que l’équation de cette surface conique sera

$R'x^{2}+Ry^{2}+rz^{2}=0\,;\qquad$(34)