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LIGNES ET SURFACES

ses sections parallèles au plan tangent aient leurs diamètres principaux respectivement parallèles aux tangentes principales dont il a été question ci-dessus, et en outre proportionnels aux racines quarrées des rayons de courbure répondant à ces mêmes tangentes principales ; cette surface conique coupera la surface courbe dont il s’agit suivant plusieurs lignes courbes, variables comme la surface conique qui leur aura donné naissance.

Or, tant ces courbes variables que les courbes fixes dont il a été question ci-dessus, se trouveront toujours appartenir à une même surface de l’ordre $m-1$ qui, dans toutes les variations qu’elle pourra subir, coupera toujours le diamètre conjugué du plan tangent en $m-1$ points fixes, différens du point de contact. »

Démonstration, Soient pris le point de contact du plan tangent pour origine et les deux tangentes principales pour axes des $x$ et des $y,$ lesquels seront ainsi perpendiculaires l’un à l’autre ; le plan des $xy$ sera un des pion diamétraux de la surface conique qui a son centre à l’origine. Soit pris le diamètre conjugué de ce plan pour axe des $z$, l’équation de la surface donnée de l’ordre $m$ sera de la forme

$\operatorname {F} _{m}(x,y)+z.\operatorname {F} _{m-1}(x,y)+z^{2}.\operatorname {F} _{m-2}(x,y)+z^{3}.\operatorname {F} _{m-3}(x,y)+\ldots$

$\ldots +z^{m-2}.\operatorname {F} _{2}(x,y)+z^{m-1}.\operatorname {F} _{1}(x,y)+z^{m}.\operatorname {F} _{0}(x,y)=0\,;\qquad$(19)

dans laquelle nous supposons que, en général, $\operatorname {F} _{k}(x,y)$ désigne une fonction rationnelle et entière en $x,y$ du degré $k$ ; de sorte que $\operatorname {F} _{0}(x,y)$ doit être une quantité indépendante de ces deux variables.

Si, pour savoir suivant quelle ligne la surface (19) est coupée par le plan des $xy,$ on fait, dans son équation, $z=0$ ; il viendra, pour l’équation de cette ligne

$\operatorname {F} _{m}(x,y)=0\,;\qquad$(20)

mais, puisqu’on suppose que Le plan des $xy$ est tangent à l’origine,