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DE TOUS LES ORDRES.

On aura donc les points d’intersection demandés en combinant entre elles les équations (16, 17) ; ce qui prouve que l’équation (17) est celle d’une ligne de l’ordre $m-1,$ qui passe par ces $m(m-1)$ points quel que soit $k$ ; ce qui démontre déjà la première partie du théorème.

Si, pour savoir en quels points la ligne (17) coupe l’axe des $x,$ c’est-à-dire, la tangente à l’origine ; on fait, dans son équation $y=0,$ elle deviendra

$b'x^{m-1}+b''x^{m-2}+\ldots +q''x^{2}+q'x+1=0\,;\qquad$(18)

équation indépendante de $k$ ; ce qui prouve, conformément à la seconde partie de l’énoncé du théorème, que ces points, dont aucun n’est l’origine, sont fixes sur la tangente, quel que soit d’ailleurs le triangle construit sous les conditions indiquées.

THÉORÈME III. « À une surface quelconque de l’ordre $m,$ soit mené un plan tangent, par un point tel que la ligne intersection de ce plan avec la surface ne passe pas par ce point. Par ce même point, soient menées, sur le même plan tangent, les deux tangentes principales.

Considérons la courbe intersection de la surface donnée avec son plan tangent comme une section faite par ce plan à une surface cylindrique, ayant sa génératrice parallèle au diamètre conjugué de ce plan tangent ; cette surface cylindrique coupera la surface proposée suivant un certain nombre de courbes fixes.

Soit fait du point de contact le centre d’une surface quelconque du second ordre ; le plan tangent en sera un plan diamétral ; soit mené, à la surface du second ordre le diamètre conjugué de ce plan ;

Soit ensuite construite arbitrairement une surface conique du second ordre, de manière pourtant qu’elle ait son sommet ou centre au point de contact ; qu’elle passe par trois diamètres conjugués de la surface du second ordre qui a son centre en ce point ; que